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Nonostante sia anche piovuto da circa 15 gg. e poi ancora 3 giorni fa, mi ritrovo un prato in queste condizioni

è una patologia, un fungo.
Rhizoctonia Solani

Grazie, cosa posso fare?

devi pulire il prato arieggiando , eliminare tutto quello che è morto, secco , il feltro che si forma e poi usare un fungicida specifico.

Grazie, ho cani, sono velenosi? posso usare il verde rame?

il verderame non serve a niente in questo caso.
il fungicida è sempre un prodotto da maneggiare con precauzione, alcuni necessitano di patentino.
sarebbe meglio tenere al largo i cani per qualche giorno.
guarda in rete il prodotto e leggi le istruzioni d'uso in etichetta.

ma togliere tutto il secco é un lavoro improbo......saranno 1.000 mq., possibile che non ci sia un'altra soluzione....?
a quel punto mi conviene rifare il prato....

Motho gia ti ha elencato possibili cause. Rifare il prato!!! devi anche eliminare le cause della patologia fungina
Per mantenere il prato in buone condizioni con ci si può augurare che la pioggia sia il beneficio assoluto.
Per un prato bello occorre lavorarci anche con manutenzioni primaverili ed autunnali con apposiita macchina arieggiatrice che elimina tutto cio che costituisce il feltro.
il feltro non e sempre visibile e specie con il clima ormai caldo temperato per più mesi viene coperto dai fili e non si vede.
ti consiglio di osservare questo mio link e se vuoi un prato efficiente e sano fare le pratiche di eliminazione del feltro e concimare a Marzo e Ottobre con un concime,
specifico e a primavere dopo arieggiatura aggiungere seme per prato
vedi link, purtroppo per cause di sistema alcune foto sono danneggiate e non ho riserva da reinserire.
https://www.forumdiagraria.org/coltivazioni-forestali-f44/il-prato-vuole-nutrimenti-t118463.html
https://www.forumdiagraria.org/coltivazioni-forestali-f44/rotore-a-lame-scarificatura-arieggiare-il-prato-t118389.html

la macchina ha un suo prezzo, ma se vuoi ottenere ci che ti auguri occorrono le attrezzature, altriemnti accontentarsi delle casualità e malattie fungine da contrastare con prodotti sul mercato.

Supponendo e non escludendo che i cani possano aver dato una spinta e un contributo all'ingiallimento, nelle settimane seguenti, cerca di evitare che il tuo cane faccia di nuovo pipì sulle aree già trattate.
Mai come in questo caso, la prevenzione è fondamentale: evitare che il cane ripeta il gesto rimane il metodo più efficace per risolvere il problema delle macchie di pipì sull’erba.

Dalla visione solo di una foto è, almeno per me, azzardato stabilire la diagnosi. Le problematiche dei prati sono oggetto di un approccio specialistico.
Io ti posso dire che empiricamente le malattie dei tappeti erbosi vengono inquadrate rispetto al periodo della comparsa - in questo caso estate-autunno - e della macro-sintomatologia (a chiazze, a circoli, a carta geografica, a degrado esteso) e nel tuo caso direi a chiazze.
Su questa base la causa può essere imputata a più di un agente patogeno fungino: uno è quello che ti è stato già nominato (la malattia è chiamata 'brown patch'), ma non mi sentirei di escluderne altri come Sclerotinia homeocarpa (il c.d. 'dollar spot') o Pythium sp.. A livello visivo si possono cercare sintomi più caratterizzanti, come ad esempio presenza di muffe di aspetto cotonoso (tipico in Pythium sp., ma può essere presente anche negli altri) e lesioni sulle foglie (presenti in 'dollar spot' e 'brown patch' - vd. foto allegata per la prima - ma non in Pythium). Anche il tipo di prato, a seconda della composizione delle specie impiegate, è variamente suscettibile: ad es. in quelli con forte componente di festuca è frequente la 'brown patch'. Un altro aspetto che può essere utile per la identificazione del patogeno è la rapidità della progressione della malattia (alta ad es. in Pythium, lenta in 'dollar spot').
La diagnosi non è marginale, in quanto ove si rendesse necessario intervenire con fungicidi la scelta della sostanza attiva può essere in funzione del patogeno.
Quanto alla prevenzione/manutenzione il discorso è lungo e francamente esula dalla mia competenza. Credo esistano siti o sezioni di siti dedicati espressamente ai tappeti erbosi.