Buongiorno, nel mio terreno ho un vecchio albicocco di almeno 20 anni(ma potrebbe averne molti di più). Da quando possiedo questo terreno (7 anni) non ha mai prodotto.
Lo scorso autunno ho provato a concimare con solfato di ammonio e questa estate ho avuto un discreto raccolto però ho notato che il tronco e molti rami perdono tantissima sostanza che sembra resina.
Di cosa potrebbe trattarsi? E' forse giunto al termine del proprio ciclo vitale?

È gommosi. Ma non è una malattia, è una conseguenza.
La gommosi solitamente arriva per stress. Li potrebbe essere qualche malattia o stress dovuto al clima.

Qui la siccità continua e possibile sia sotto stress. Il tronco è pure ricoperto da una sottile patina verde e da alcuni licheni.

Mi chiedo se valga la pena cercare di recuperare l'albero o sia più efficiente toglierlo e sostituirlo con uno giovane.

Fra l'altro è molto alto e 2/3 del raccolto è impossibile da fare sull'albero.

se è una pianta autoctona cercherei di salvarla o al limite di propagarla. potresti cercare di innestare un selvatico con marze di quella pianta se decidi si sostituirla.

Provare a propagarla potrebbe essere una bella idea ma di selvatico ho solo alloro che mi cresce ovunque come erbaccia.

L'innesto funziona su qualsiasi portainnesto? Non essendo competente mi chiedo se i frutti ottenuti siano altrettanto buoni e commestibili.

Altrimenti, come potrei propagarla diversamente?

l'innesto di albicocco può essere fatto sia sul pesco che sul pruno (a parte l'albicocco stesso) ed i frutti avranno
le stesse caratteristiche della pianta madre.
Comunque 20 anni non sono poi tanti per un albicocco (vanno anche oltre i 50 e più).

Se effettuassi l'innesto su di un pesco, lasciando dei rami con germogli potrei ottenere un albero che produce sia pesce che albicocche?

La stimata di 20 anni è quella minima indicativa ma secondo me ne ha molti di più. La base del tronco ha un diametro di 35/40cm decisamente più grande di un alberello di 10 anni che ho in un altra fascia.

In teoria si... in pratica non è consigliabile specie se non hai molta esperienza.
Vedi se riesci a procurarti da qualche amico (od anche in un vivaio) un selvatico da impiantare e poi innestare